Dokaˇzite da je duljina ta teˇziˇsnice povuˇcene iz vrha A trokuta dana sa ta = 1 2 p 2(b2 +c2)− a2. Pomo´cu ovog rezultata dokaˇzite da je ta = 1 2 p b2 +c2 +2bc cos(α). Ozvuchivatel_teksta_onlain, 93751, 0-45-60-120-135?share=1.

8 Trigonometrija kosokutnog trokuta C γ b a A β α B c Kosinusov pouˇcak: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α, b2 = a2 + c2 − 2ac cos β, c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ. Sinusov pouˇcak: a b c = = sin α sin β sin γ = 2R, R - polumjer trokutu opisane kruˇznice. 1 1 1 abc P (ABC) = ab sin γ = ac sin β = bc sin α =. 2 2 2 4R Tangensov pouˇcak: α+β tg a+b 2, = α−β a−b tg 2 β+γ tg b+c 2, = β−γ b−c tg 2 γ+α tg c+a 2. = γ− α c−a tg 2 Zadatak 1.

Dokaˇzite tangensov pouˇcak. Ako su a, b i c duljine stranica trokuta i ako je s = (a + b + c)/2 poluopseg dokaˇzite da je povrˇsina P tog trokuta dana Heronovom formulom: P = p s(s − a)(s − b)(s − c). Dvije stranice trokuta imaju duljine 82cm i 56cm i zatvaraju kut od 98◦ 26′. Kolika je duljina teˇziˇsnice tre´ce stranice tog trokuta? Dokaˇzite da je duljina ta teˇziˇsnice povuˇcene iz vrha A trokuta dana sa ta = 1p 2 2(b + c2 ) − a2.

2 Pomo´cu ovog rezultata dokaˇzite da je ta = 1p 2 b + c2 + 2bc cos(α). Neka duljine stranica trokuta zadovoljavaju jednakost: 1 3 1 + =. A+b b+c a+b+c Dokaˇzite da je tada β = 60◦. Ako za povrˇsinu trokuta vrijedi jednakost P = (b2 + c2 − a2 ), dokaˇzite da 4 ◦ je α = 45. Dokaˇzite da vrijedi: (b2 + c2 − a2 )tgα + (a2 + c2 − b2 )tgβ + (a2 + b2 − c2 )tgγ = 12P.

Oko trokuta kojemu su duljine stranica a = 15cm, b = 20cm, c = 7cm opisana je kruˇznica. Izraˇcunajte povrˇsinu onog odsjeˇcka kruˇznice kojem je stranica a tetiva. Opseg trokuta iznosi 20cm, a dva su mu kuta α = 41.6◦ i β = 69.5◦.

Izraˇcunajte duljine stranica tog trokuta. Izraˇcunajte stranice i kutove trokuta ako je zadano da je a = 10cm, β = 30◦ i polumjer tom trokutu opisane kruˇznice R = 6cm. Izraˇcunajte kutove trokuta ako je α: β = 1: 2 i a: b = 1: √ 3. Duljine osnovica trapeza su a = 8cm i c = 4cm, a kutovi uz ve´cu osnovicu su α = 80◦ i β = 44◦. Koliki su krakovi tog trapeza?

Zadanom toˇckom A kruˇznice polumjera r povuˇcen je promjer AB. Toˇckom A povuˇcene su tetive AC i AD takve da su one s razliˇcite strane pravca AB i s njime zatvaraju kutove α i β. Odredite duljinu tetive CD.